☛ Déterminer le cardinal de la réunion, le cardinal de l'intersection

Énoncé 1

Dans un camp de vacances hébergeant \(100\) personnes, \(52\) personnes pratiquent le vélo, \(44\) le ping pong et \(23\) personnes ne pratiquent aucune de ces deux activités. Combien de personnes pratiquent à la fois le vélo et le ping pong ?

Solution

Soit \(V\) l'ensemble des personnes qui pratiquent le vélo et \(P\) l'ensemble des personnes qui pratiquent le ping pong. 
Alors  \(\text{Card}(V ∪ P) = 100 - 23 = 77\) .
\(77\) personnes pratiquent au moins l'une des activités.
De plus, \(\text{Card}(V ∪ P) = \text{Card}(V) + \text{Card}(P)- \text{Card}(V ∩ P)\) .
D'où  \(\text{Card}(V ∪ P) = \text{Card}(V) + \text{Card}(P)- \text{Card}(V ∩ P) = 52 + 44 - 77 = 19\) .
Conclusion : \(19\) personnes pratiquent à la fois le vélo et le ping pong.

Énoncé 2

Dans une association sportive, deux sports sont proposés : l'athlétisme et le badminton. On sait que, parmi les membres de l'association, \(13\) pratiquent l'athlétisme, \(17\) le badminton, \(4\) les deux sports et \(18\) ne pratiquent aucun de ces deux sports. Déterminer le nombre de membres  dans cette association.

Solution

On appelle \(A\) l'ensemble des membres pratiquant l'athlétisme et \(B\) l'ensemble des membres  pratiquant le badminton.
Avec les données de l'énoncé, on a :  \(\text{Card}(A)=13\) , \(\text{Card}(B)=17\) , \(\text{Card}(A\cap B)=4\) et \(\text{Card}(\overline{A ∪ B})= 18\) .
Comme \(4\) membres pratiquent les deux sports et \(13\) pratiquent l'athlétisme, on a alors \(13 - 4 = 9\) membres qui pratiquent uniquement l'athlétisme.
De même, il y a \(17 - 4 = 13\) membres qui ne pratiquent que le badminton.
On peut représenter la situation avec le  diagramme suivant.

Conclusion : le nombre total de membres est donc de : \(9 + 13 + 4 + 18 = 44\) .

Exercice

Un certain produit se vend liquide ou en poudre. Un sondage fait ressortir les faits suivants :

• un tiers des personnes interrogées n'utilisent pas la poudre ;
• deux septièmes des personnes interrogées n'utilisent pas le liquide ;
• \(427\) personnes utilisent à la fois le liquide et la poudre ;
• un cinquième des personnes interrogées n'utilisent pas du tout de produit.

Combien de personnes ont été interrogées au cours de ce sondage ?